admin 
Определение плоскости
Плоскость представляет поверхность, содержащую прямые, соединяющие две любые ее точки. Это определение звучит достаточно запутанно, поэтому лучше его запомнить. А для понимания стоит запомнить, что плоскость это прямая поверхность. Любая грань пирамиды это плоскость, так же как стена, поверхность стола или лист бумаги.
Стена является частью плоскости, так как любой другой пример плоскости из реальной жизни это ограниченное пространство, а плоскость безгранична, так же как и линия.
Из плоскостей в планиметрии составляются фигуры, как в стереометрии из линий. Яркий пример: четырехугольная пирамида, которая состоит из пяти граней, каждая из которых является частью отдельной плоскости.
Геометрия состоит из двух разделов: планиметрия и стереометрия. Фигуры на плоскости, состоящие из линий и точек это раздел стереометрии. Планиметрия изучает фигуры из плоскостей, прямых и точек. Проще говоря, планиметрия – это геометрия объемных фигур.
Обозначение плоскости
Конечно, нарисовать плоскость, у которой нет краев, невозможно. Поэтому, при изображении плоскости, рисуют только ее часть:
Обозначается плоскость строчными буквами греческого алфавита – α (альфа), β (бета), γ (гамма) и т.д.:
Буквы пишут либо рядом с плоскостью, либо на плоскости.
Взаимное расположение прямой и плоскости
Прямая в пространстве может быть параллельной плоскости, лежать в плоскости и пересекать ее. Рассмотрим каждый вариант более подробно.
Прямая параллельная плоскости, если она не имеет общих точек с ней. Признак параллельности прямой и плоскости крайне прост: прямая параллельна плоскости, если параллельна любой прямой лежащей в этой плоскости.
Прямая в пространстве может пересекать плоскость, если имеет с ней одну общую точку. Обратите внимание, что тогда прямая и плоскость образуют угол. Чтобы его увидеть, необходимо провести прямую в плоскости через точку пересечения. Тогда угол между этими прямыми и будет углом между прямой и плоскостью. Кроме того, прямая может быть перпендикулярна плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости звучит так: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых в этой плоскости и пересекает плоскость в месте пересечения этих прямых.
Прямая в пространстве может лежать в плоскости, если две любые точки этой прямой принадлежат этой плоскости.
Рис. 2. Взаимное расположение прямой и плоскости.
Параллельные плоскости
Теперь рассмотрим подробнее каждый из названных выше случаев. Предположим, что в общей форме заданы следующие две плоскости:
A1*x + B1*y + C1*z + D1 = 0;A2*x + B2*y + C2*z + D2 = 0.
Как понять, являются ли они параллельными? Сделать это очень просто. Достаточно вспомнить о нормальных векторах. Если две плоскости параллельны между собой, значит, их нормали также параллельны. Выпишем координаты нормальных векторов к указанным плоскостям. Имеем:
n1¯ = (A1, B1, C1);n2¯ = (A2, B2, C2).
Достаточным условием параллельности n1¯ и n2¯ является возможность задания одного из них через другой. Математически это записывается так:
n1¯ = k*n2¯.
Где k — некоторое (в том числе отрицательное) число. Если одну нормаль невозможно выразить путем умножения координат другой на число, то такие плоскости не будут параллельными.
Частным случаем параллельности плоскостей является их полное совпадение друг с другом. Тогда должны выполняться такие условия:
n1¯ = k*n2¯ и D1 = k*D2.
Пример параллельных плоскостей в пространстве приведен ниже.
Пересекающиеся плоскости и угол между ними
Поскольку существует всего два варианта взаимного расположения плоскостей, то достаточно проверить, являются ли они параллельными или нет. В случае их пересечения часто возникает необходимость в определении соответствующего угла. Согласно определению, углом между рассматриваемыми геометрическими объектами является угол между их нормалями.
Таким образом, изучая вопрос взаимного расположения плоскостей и угла между плоскостями, достаточно рассчитать скалярное произведение векторов n1¯ и n2¯. Соответствующая формула примет вид:
θ = arccos(|(n1¯*n2¯)|/(|n1¯|*|n2¯|)).
Угол между плоскостями θ всегда является острым, поскольку в числителе стоит модуль скалярного произведения.
Следует отметить частный случай, когда две плоскости пересекаются под углом 90o. Тогда достаточно вычислить скалярное произведение нормальных векторов. Оно будет равным нулю.
Взаимное расположение плоскостей
Плоскости в пространстве могут совпадать, пересекаться или быть параллельными.
Плоскости параллельны, если попарно параллельны две пересекающиеся прямые в каждой из плоскостей.
Пересекаться плоскости могут только по прямой. В этом случае плоскости образуют угол. Чтобы найти его численные значения нужно в каждой из плоскостей провести прямую перпендикулярную прямой пересечения плоскостей. Эти две прямые и образуют угол плоскостей. Эти свойства иногда называют правилами плоскостей.
Рис. 3. Расположение плоскостей.
Нормальный вектор плоскости – определение, примеры, иллюстрации
Чтобы материал легко усваивался, необходимо предварительно изучить теорию о прямой в пространстве и представление ее на плоскости и векторы.
Нормальным вектором плоскости считается любой ненулевой вектор, который лежит на перпендикулярной к данной плоскости прямой.
Отсюда следует, что имеет место существование большого количества нормальных векторов в данной плоскости. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.
Нормальные векторы располагаются на параллельных прямых, поэтому они все коллинеарны. То есть, при нормальном векторе n→ , расположенном в плоскости γ, вектор t·n→, имея ненулевое значение параметра t, также нормальный вектор плоскости γ. Любой вектор может быть рассмотрен как направляющий вектор прямой, которая перпендикулярна этой плоскости.
Имеются случаи совпадения нормальных векторов плоскостей из-за перпендикулярности одной из параллельных плоскостей, так как прямая перпендикулярна и второй плоскости. Отсюда следует, что нормальные векторы перпендикулярных плоскостей должны быть перпендикулярными.
Рассмотрим на примере нормального вектора на плоскости.
Задана прямоугольная система координат Охуz в трехмерном пространстве. Координатные векторы i→, j→, k→ считаются нормальными векторами плоскостей Oyz, Oxz и Oxy. Это суждение верно, так как i→, j→, k→ ненулевые и расположены на координатных прямых Ox, Oy и Oz. Эти прямые перпендикулярны координатным плоскостям Oyz, Oxz и Oxy.
Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости из уравнения плоскости
Статья предназначена для того, чтобы научить находить координаты нормального вектора плоскости при известном уравнении плоскости прямоугольной системы координат Охуz. Для определения нормального вектора n→=(A, B, C) в плоскости необходимо наличие общего уравнения плоскости, имеющее вид Ax+By+Cz+D=0. То есть достаточно иметь уравнение плоскости, тогда появится возможность для нахождения координат нормального вектора.
Найти координаты нормального вектора, принадлежащего плоскости 2x-3y+7z-11=0.
Решение
По условию имеем уравнение плоскости. Необходимо обратить внимание на коэффициенты, так как они и являются координатами нормального вектора заданной плоскости. Отсюда получаем, что n→=(2, -3, 7) – это нормальный вектор плоскости. Все векторы плоскости задаются при помощи формулы t·n→=2·t, -3·t, 7·t, t является любым действительным числом не равным нулю.
Ответ: n→=(2, -3, 7).
Пример 2
Определить координаты направляющих векторов заданной плоскости x+2z-7=0.
Решение
По условию имеем, что дано неполное уравнение плоскости. Чтобы увидеть координаты, необходимо преобразовать уравнение x+2z-7=0 к виду 1·x+0·y+2z-7=0. Отсюда получим, что координаты нормального вектора данной плоскости равны (1, 0, 2). Тогда множество векторов будет иметь такую форму записи (t, 0, 2·t), t∈R, t≠0.
Ответ: (t, 0, 2·t), t∈R, t≠0.
При помощи уравнения плоскости в отрезках, имеющего вид xa+yb+zc=1, и общего уравнения плоскости возможна запись нормального вектора этой плоскости, где координаты равны 1a, 1b, 1c.
Знания о нормальном векторе позволяют с легкостью решать задачи. Часто встречающимися задачами являются задания с доказательствами параллельности или перпендикулярности плоскостей. Заметно упрощается решение задач на составление уравнений заданной плоскости. Если имеется вопрос о нахождении угла между плоскостями или между прямой и плоскостью, то формулы нормального вектора и нахождения его координат помогут в этом.
[spoiler title=”Источники”]
- https://obrazovaka.ru/matematika/ploskost-pravilo.html
- https://budu5.com/manual/chapter/1216
- https://klevo.net/vzaimnoe-raspolozhenie-ploskostej-neobhodimye-svedenija/
- https://www.syl.ru/article/242597/mod_ploskie-i-obyemnyie-geometricheskie-figuryi
- https://ladle.ru/education/matematika/5class/ploskost-pryamaya
- https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/normalnyj-vektor-ploskosti-koordinaty-normalnogo-v/
[/spoiler]
